Мстислав Всеволодович Келдыш родился 10 февраля 1911 года в Риге. В 1927 году закончил школу со строительным уклоном. В МВТУ им. Н. Э. Баумана на инженерно-строительный факультет юношу не приняли из-за возраста (ему исполнилось 16 лет на тот момент). По совету своей старшей сестры Людмилы он поступил в МГУ на математическое отделение физико-математического факультета. Склонность к математике и точным наукам проявилась у Келдыша в старших классах школы, учителя уже тогда отмечали его способности в этой области. Те, кто работал с ним позже, отмечали также его незаурядную инженерно-строительную интуицию.
В науку молодой математик М. В. Келдыш вошел быстро и ярко. С весны 1930 года он одновременно с учёбой начал работать ассистентом в Электромашиностроительном институте. В 1931 году, после окончания МГУ, он начал работать в Центральном аэрогидродинамическом институте им. Н. Е. Жуковского (ЦАГИ) под руководством академика С. А. Чаплыгина, который сразу стал поручать новому сотруднику одну за другой серьёзные практические задачи, требовавшие математического решения. Сначала это были задачи гидродинамики и нестационарной аэродинамики, а позже — задачи автоколебаний самолетных конструкций. В ЦАГИ Мстислав Всеволодович выполнил ряд важных исследований по аэрогидродинамике. Им были получены результаты в задачах неустановившихся движений крыла, строгого обоснования вихревой теории винта Жуковского, теории удара тел о жидкость, теории движений тел под поверхностью жидкости и теории обтекания тел сжимаемой жидкостью. В результате советская авиация, в отличие от немецкой, в годы Великой Отечественной войны не имела проблем с флаттером. В 1939 году всем главным авиаконструкторам было вменено в обязанность проводить через отдел Келдыша в ЦАГИ расчет на флаттер всех самолетов новых конструкций.
В 1935 году учёному без защиты диссертации была присвоена учёная степень кандидата физико-математических наук, в 1937 году — степень кандидата технических наук и звание профессора по специальности «аэродинамика». Ещё через год Келдыш защитил диссертацию на соискание учёной степени доктора физико-математических наук на тему «О представлении рядами полиномов функций комплексного переменного и гармонических функций».
В 1944 году в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР (МИАН) был создан Отдел механики, заведующим которого стал Мстислав Всеволодович. С этого момента он занимается ракетодинамикой и прикладной небесной механикой. Способность учёного быстро организовывать коллективы исследователей, чётко формулировать прикладную задачу, намечать пути её решения, решать и внедрять результаты в практику создали Мстиславу Всеволодовичу авторитет лидера в вопросах математических приложений в научных кругах и в правительстве страны. Поэтому в 1946 году по инициативе физиков-ядерщиков Келдыша подключили к расчётам атомного оружия.
Для проведения расчётов по атомной проблеме Келдыш привлёк группу математиков во главе с И. М. Гельфандом и Расчётное бюро во главе с К. А. Семендяевым. По их методикам бригады вычислителей круглосуточно выполняли огромный объём вычислительной работы, используя настольные электромеханические машины «Мерседес» — настоящие «фабрики счёта».
В 1948 году для решения задачи ядерного взрыва была создана другая группа математиков и вычислителей — Лаборатория № 8 во главе с А. Н. Тихоновым. В ней по методикам А. Н. Тихонова и А. А. Самарского решалась сложнейшая задача численной оценки мощности ядерного взрыва.
30 ноября 1946 года Мстислав Всеволодович был избран действительным членом АН СССР по Отделению технических наук, а через несколько лет — научным руководителем НИИ-1, призванного решать прикладные задачи ракетостроения. С этого времени теория движения составных ракет, внедрение жидкостных реактивных и прямоточных двигателей в авиацию, беспилотные ракеты, управление полётом ракет дальнего действия стали темами исследований Келдыша и руководимого им коллектива. В 1947 году Мстислав Всеволодович познакомился с Главным конструктором ракетной техники С. П. Королёвым, что перешло затем в творческое сотрудничество.
К 1953 году учёный уже руководил несколькими коллективами, работавшими по разным проблемам. Во всех прикладных работах требовались новые методы научных исследований, прежде всего рациональный математический расчёт. Келдыш одним из первых предугадал роль вычислительной математики в развитии науки и технологии. До 1953 года при расчетах использовались электромеханические машины «Мерседес», позднее появились первые отечественные электронные вычислительные машины — БЭСМ-1 и «Стрела».
В 1966 году Институт прикладной математики получил свое современное название — Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша (ИПМ). Институт должен был решать стоящие перед страной стратегические научные задачи. Они были связаны с государственными программами развития атомной и термоядерной энергетики, исследованиями космического пространства, создания новых математических методов и использования новой вычислительной техники. В момент создания института Мстислав Всеволодович сумел объединить научные математические коллективы, решавшие насущные задачи атомной энергетики, ракетно-космической техники, аэрогидродинамики и кибернетики. Развитие новой техники выдвигало задачи механики и физики, которые требовалось решать быстро и с высокой точностью.
Помимо научной деятельности, Мстислав Всеволодович выступал как государственный деятель, человек общегосударственного масштаба, ответственный за выполнение программ ракетно-космической техники, и возглавлял проведение экспертиз по представляемым предложениям и проектам. Есть пример, когда вмешательство учёного, его принципиальность и твёрдость сыграли чрезвычайно важную роль в развитии космических исследований и ракетно-космической техники в нашей стране. Когда разработали и испытали ракету-носитель «Протон», в силу ряда причин очень многие были против того, чтобы изготавливать её серийно, не говоря о том, чтобы её использовать. Келдыш предпринял героические усилия, когда в Государственной комиссии он фактически один сражался против всех и сумел добиться того, чтобы эта ракета была сохранена, пошла в серию и стала «рабочей лошадью» для нашей космонавтики. Эта ракета сыграла колоссальную роль в дальнейшем развитии космонавтики.
Мстислав Всеволодович был чрезвычайно требователен и к себе, и к сотрудникам. Он требовал глубины анализа, доказательности, обоснованности, полезности и выполнимости дела. Кроме того, он требовал динамизма, чтобы важное дело развивалось. Он всегда поддерживал всё новое, был доброжелательным человеком и доверял людям. При этом он всегда оставался принципиальным. Широкого обсуждения проблем никогда не боялся, потому что оно помогало продвижению дела вперёд. Учёный всегда стремился добиться цели и не любил проигрывать.
Мстислав Всеволодович Келдыш умер 24 июня 1978 года Его заслуги высоко оценены. Он трижды Герой Социалистического Труда, лауреат многих государственных премий, награждён множеством орденов и медалей, в том числе иностранных государств. Также Мстислав Келдыш был избран иностранным членом шестнадцати академий мира и почётным доктором шести университетов.